Teorema de Perron-Frobenius Aplicado a las Matrices Estocásticas

Abstract

El trabajo de tesis tiene como objetivo principal el obtener resultados para encontrar distribuciones estacionarias de cadenas de Markov, basándose fundamentalmente en el importante Teorema de Perron-Frobenius. El trabajo está compuesto de tres capítulos y un apéndice; el apéndice contiene el desarrollo de Cadenas de Markov resaltando los resultados importantes en forma matricial así como la clasificación de los estados. El capítulo 1 consiste principalmente del estudio de la Matriz de Equilibrio y bajo que condiciones podemos determinar su existencia dado que sus filas que son iguales representan a la distribución estacionaria asociada a la cadena. Se establece un resultado que relaciona la distribución con el tiempo esperado de retorno, que es de importancia en las aplicaciones de estos procesos y para realizar los cálculos se aplica el Teorema de la representación espectral para matrices diagonalizables. Como se mencionó, el interés es utilizar la Teoría de Perron-Frobenius, que conforma el contenido del capítulo 2 en donde se desarrolla un estudio en la estructura de las matrices no negativas que da un conocimiento de sus valores y vectores propios así como de una representación canónica dada por una relación de equivalencia en su conjunto de índices. ´ Esto permite obtener una serie de importantes resultados que se aplicarán en el desarrollo del capítulo 3 sobre el estudio de las matrices estocásticas para la obtención de la distribución estacionaria, concluyendo con ejemplos de cadenas importantes como la caminata aleatoria.